Sabtu, 02 Januari 2010

RELASI DAN FUNGSI

RELASI DAN FUNGSI

A. RELASI

  1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
  2. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan
  • diagram panah.
  • himpunan pasangan berurutan, dan
  • grafik Cartesius

B. FUNGSI

  • Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang khusus, yaitu relasi yang setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Untuk fungsi dari A ke B diperlukan syarat, yaitu:
  1. mempunyai dua himpunan A dan B;
  2. suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
  • Himpunan A disebut daerah asal atau daerah definisi atau domain fungsi itu. Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan anggota A dinamakan daerah hasil atau daerah nilai ( range ) fungsi itu.
  • Jika a anggota daerah asal, maka anggota daerah hasil yang bersesuaian dengan a disebut bayangan dari a ( peta dari a ) oleh fungsi f, dan dinyatakan dengan f(a). Himpunan semua bayangan membentuk daerah hasil fungsi tersebut. f(a) juga disebut nilai fungsi untuk a.
  • Fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x)=ax+c dengan a, c ` R dan a g 0 dinamakan fungsi linear.

f(x) = ax + c adalah rumus fungsi linear.

y = ax + c adalah persamaan fungsi linear.

  • Untuk persamaan fungsi y = ax + c, x disebut variabel bebas dan y disebut variabel tak bebas.
  • Menggambar grafik fungsi
  1. Membuat daftar untuk menentukan daerah hasil.
  2. Menentukan himpunan pasangan berurutan.
  3. Membuat sumbu vertikal dan horizontal.
  4. Meletakkan noktah-noktah dari himpunan pasangan berurutan yang telah dibuat.
  • Jika n(A) = p dan n(B) = q, maka banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B adalah q p .
  • Himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika anggota-anggota himpunan A dan B dipasangkan sedemikian rupa sehingga setiap anggota himpunan A berpasangan dengan satu anggota himpunan B daqn setiap anggota himpunan B berpasangan dengan satu anggota himpunan A.

BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

  1. BARISAN GEOMETRI

    U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

    U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

    Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

    Rasio r = Un / Un-1

    Suku ke-n barisan geometri

    a, ar, ar² , .......arn-1
    U1, U2, U3,......,Un

    Suku ke n Un = arn-1
    ® fungsi eksponen (dalam n)


  2. DERET GEOMETRI

    a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
    a = suku awal
    r = rasio
    n = banyak suku


    Jumlah n suku

    Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
    = a(1-rn)/1-r , jika r<1
    ® Fungsi eksponen (dalam n)

    Keterangan:

    1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
    2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      Un > Un-1
    3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      Un <>n-1

      Bergantian
      naik turun, jika r <>
    4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
    5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
      _______ __________
      Ut =
      Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.

    6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar


  3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

    Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

    U1 + U2 + U3 + ..............................

    ¥
    å
    Un = a + ar + ar² .........................
    n=1

    dimana n ® ¥ dan -1 <> sehingga rn ® 0

    Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

    Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)

    Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 <>

    Catatan:


    a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................

    Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

    a+ar2 +ar4+
    ....... Sganjil = a / (1-r²)

    Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

    a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r²

    Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M0, M1, M2, ............., Mn

M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0

M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0

.
.
.
.

Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0


Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M0, M1, M2, .........., Mn

M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0

M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0
= (1 + P/100)² M0
.
.
.

Mn = {1 + P/100}n M0

Keterangan :

M0 = Modal awal
Mn = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga
n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p <>


BARISAN DAN DERET ARITMATIKA


BARISAN
Yang namanya barisan adalah berjajar, kalo gak menyamping yaaaaa kebelakang tetapi dalam matematika barisan ini terjadi pada angka dan variable.

contoh paling sederhana adalah barisan bilangan ganjial; 1,3,5,7 ......

pola diatas dapat ditulis dengan

U1 = suku pertama (atau biasa dibuat
dengan variabel a)
U2 = Suku ke-2
Un = suku ke-n

kenapa disebut barisan???
kalu saia menyebut karena bilangan tersebut memiliki irama. weekss irama.... yaaaaaa iramanya seperti ini;
antara angka 1 dan 3 terdapat beda (b) yaitu 3 - 1 =2 begitupun antara 3 dan 5 terdapat beda yang sama yaitu 2 (5 - 3 = 2) dan seterusnya sampai suku ke-n memiliki beda yang konstan sehingga
rumusnya ditulis


U2 - U1 = U3 - U2 = U4 - U3



dan untuk mencari beda dengan rumus

b = Un - Un-1


Ket : b = beda
Un = suku ke-n
Un-1 = satu suku sebelumnya

sehingga *masih mengacu pada barisan contoh diatas
U1 = a = 1
U2 = (a + b) = 1 + 2 = 3 *ingat b adalah beda
U3 = (a + 2b) = 1 + 2.2 = 5
U4 = (a + 3b) = 1 + 3.2 = 7

dan dapat disimpulkan jika mencari suku ke-n (Un) adalah

Un = a + ( n - 1 ) b


misal untuk mencari suku berikutnya adalah suku ke-5 maka;
U5 = a + (n-1)b
= 1 + (5-1)2
= 1 + 8 = 9
kalo suku ke-6
U6 = a + (n-1) b
= 1 + (6 - 1) 2
= 1 + 10
= 11
kalo suku ke-7
U7 = .........................
= ..........................
= ..........
isi sendiri yaaaaaaaaa.. buat latihan kamu dirumah
sudah sedikit mudengkan????.......
nah pada umumnya bentuk deret seperti berikut


a,(a+b),(a+2b), ..... , (a + ( n - 1 ) b )


DERET
jika barisan bentuk umumnya seperti diatas maka bentuk deret bentuk umumnya seperti :



atau




** hayooo tau nggak perbedaannyaaaaaaa dengan
BARISAN.....
ya... kalu kita liat perbedaanya hanya pada tanda plus dan komanya saja. hehehehheheh

keterangannya sama dengan barisan *gak usah dijelaskan lagi yaaaaa

dalam deret aritmatika terdapat jumlah suku...
berlaku rumus;
sehingga

untuk Sn = jumlah sampai suku ke-n
a = suku pertama
b = beda

dan untuk mencari suku tengah berlaku rumus

untuk Ut = suku tengah





POLA BILANGAN

POLA DAN BARISAN BILANGAN

I. POLA BILANGAN

    1. POLA BILANGAN GENAP

    2. POLA BILANGAN GANJIL

3. POLA BILANGAN PERSEGI PANJANG

    4. POLA BILANGAN SEGITIGA

    5. POLA BILANGAN PERSEGI

    6. POLA BILANGAN FIBONACI

      a. 1 3 4 7 11 18 29,…

      b. 1 1 2 3 5 8 13,…

      c. - 2 3 1 4 5 9,...

    7. POLA BILANGAN SEGITIGA PASCAL

    1

    1 1

    1 2 1

    1 3 3 1

    1 4 6 4 1

    1 5 10 10 5 1

    II. BARISAN BILANGAN

    CONTOH :

    1. 3 7 11 15 19 23 , …

    2. 4 7 10 13 16 19 , …

    3. 2 4 7 11 16 22 , …

    4. 1/2 2/5 3/8 4/11 5/14

    5. 20 13 7 2 - 2 - 5 - 7

    RUMUS SUKU KE- N ( Un )

    CONTOH :

    1. 5 7 9 11 13 suku ke 50….?

    Un = 2 n + 3

    U50 = 2.50 + 3

    = 100 + 3

    = 103

    2. 2 9 16 23 30 37 U80 = ?

    Un = 7n - 5

    U80 = 7.80 - 5

    = 560 - 5

    = 555

    3. - 2 1 4 7 10 13 U120 = ?

    Un = 3n - 5

    U120 = 3. 120 - 5

    = 360 - 5

    = 355

    4. 30 21 12 3 - 6 -15 U 200 = ?

    Un = - 9n + 39

    U200 = - 9 . 200 + 39

    = - 1800 + 39

    = -1761

    COBA KERJAKAN DEH !

    1. 4 8 13 19 26,… 3 suku berikut ?
    2. 42 33 25 18 12 ,… 3 suku berikut ?
    3. 7 11 15 19 23 Un = ?
    4. 5 11 17 23 29 U180 = ?
    5. 1 8 15 22 29 U300 = ?
    6. 42 34 26 18 10 U240 = ?

      7. - 2 1 -1 0 -1 -1 -2 ,… 3 suku berikut

    CONTOH SOAL

    1. JIKA Un = 7n – 4 5 suku pertama ?

    U1 U2 U3 U4 U5 = ….

    U1 = 7 . 1 – 4 U2 = 7 . 2 – 4

    = 7 – 4 = 14 – 4

    = 3 = 10

    5 suku pertama : 3 10 17 24 31

      2. Un = - 8n + 27 5 suku pertama ?

      U1 = - 8.1 + 27

      = - 8 + 27

      = 19 19 11 3 -5 -13

      U2 = - 8 . 2 + 27

      = - 16 + 27

      = 11

    3. Un = 7n – 1 4. Un = - 4n + 9

    jika Un = 279 jika Un = - 171

    tentukan n tentukan n

    Un = 7n – 1 Un = - 4n + 9

    279 = 7n – 1 - 171 = - 4n + 9

    279 + 1 = 7n 4n = 9 + 171

    280 = 7n 4n = 180

    280 : 7 = n n = 180 : 4

    40 = n n = 45

    L A T I H A N

      1. Un = 8n – 3 5 suku pertama …………?

      2. Un = - 17n + 24 5 suku pertama……..?

      3. Un = 9n – 4, jika Un = 176, tentukan n ?

    1. 4 11 18 25 32 , . . .

      jika Un = 557 , tentukan n ?

      5. Un = - 3n + 7 jika Un = - 203, tentukan n

    CONTOH SOAL

    1. JIKA Un = an + b dan U2 = 11, U7 = 51, tentukan :

      a. rumus Un

      b. U47

    Jawab

      a. Un = an + b, U2 = 11 2a + b = 11

      U7 = 51 7a + b = 51

      - 5a = - 40

      a = -40 : - 5

      a = 8

      2a + b = 11 rumus Un = 8n – 5

      2.8 + b = 11

      16 + b = 11 b. U47 = …… ?

      b = 11 – 16

      b = - 5

    2. Un = an + b

    jika U3 = 9 , U5 = - 1 tentukan :

    a. nilai a dan b

    b. rumus Un

    c. U60

    CONTOH SOAL

      1. Tulislah 10 bilangan asli yang pertama

      kemudian tentukan jumlah seluruhnya.

      2. Tulislah 10 bilangan kelipatan 7 yang

      pertama dan jumlahkan.

      3. Tulislah 100 bilangan ganjil yang pertama

      kemudian jumlahkan seluruhnya!!!!!!!

    RUMUS JUMLAH SUKU KE-N (Sn)

    Sn = n( Un + U1)

    2

    1. jumlah 100 bilangan ganjil yang

    pertama

    1 3 5 7 9,… S100 = 100(199 + 1)

    Un = 2n – 1 2

    U100 = 2.100 – 1 = 50.200

    = 199 = 10.000

    2. 3 7 11 15 19,… dit S80…?

    Un = 4n – 1

    U80 = 4.80 – 1

    = 319

    S80 = 80( 319 + 3 )

    2

    = 40. 322

    = 12880

    3. 24 17 10 3 -4,… S120 = ?

    Un = - 7n + 31

    U120 = -7.120 + 31

    = - 840 + 31

    = - 809

    S120 = 120( -809 + 24 )

    2

    = 60. – 785

    = - 47100


TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRI

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a


SELISIH DUA SUDUT
(a - b)

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a


SUDUT RANGKAP

sin 2
a = 2 sin a cos a
cos 2
a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2
a - 1
= 1 - 2 sin2
a
tg 2
a = 2 tg 2a
1 - tg2
a
sin
a cos a = ½ sin 2a
cos2
a = ½(1 + cos 2a)
sin2
a = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :


sin n
a = 2 sin ½na cos ½na
cos n
a = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½n
a - 1
= 1 - 2 sin2 ½n
a
tg n
a = 2 tg ½na
1 - tg2 ½n
a

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN
® PERKALIAN

sin
a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin
a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos
a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos
a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2

BENTUK PERKALIAN
® PENJUMLAHAN

2 sin
a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos
a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos
a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x -
a)


a cos x + b sin x = K cos (x-
a)

dengan :
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut


I
II
III
IV
a
+
-
-
+
b
+
+
-
-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x


PERSAMAAN
I. sin x = sin
a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° -
a) + n.360°



cos x = cos
a Þ x = ± a + n.360°


tg x = tg a
Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-
a) = C
cos (x-
a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1
£ C/K £ 1 atau K² ³ (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos
b
cos (x -
a) = cos b
(x -
a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°