RELASI DAN FUNGSI

RELASI DAN FUNGSI

A. RELASI

1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
2. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan

• diagram panah.
• himpunan pasangan berurutan, dan
• grafik Cartesius

B. FUNGSI

• Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang khusus, yaitu relasi yang setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Untuk fungsi dari A ke B diperlukan syarat, yaitu:

1. mempunyai dua himpunan A dan B;
2. suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

• Himpunan A disebut daerah asal atau daerah definisi atau domain fungsi itu. Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan anggota A dinamakan daerah hasil atau daerah nilai ( range ) fungsi itu.
• Jika a anggota daerah asal, maka anggota daerah hasil yang bersesuaian dengan a disebut bayangan dari a ( peta dari a ) oleh fungsi f, dan dinyatakan dengan f(a). Himpunan semua bayangan membentuk daerah hasil fungsi tersebut. f(a) juga disebut nilai fungsi untuk a.
• Fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x)=ax+c dengan a, c ` R dan a g 0 dinamakan fungsi linear.

f(x) = ax + c adalah rumus fungsi linear.

y = ax + c adalah persamaan fungsi linear.

• Untuk persamaan fungsi y = ax + c, x disebut variabel bebas dan y disebut variabel tak bebas.
• Menggambar grafik fungsi

1. Membuat daftar untuk menentukan daerah hasil.
2. Menentukan himpunan pasangan berurutan.
3. Membuat sumbu vertikal dan horizontal.
4. Meletakkan noktah-noktah dari himpunan pasangan berurutan yang telah dibuat.

• Jika n(A) = p dan n(B) = q, maka banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B adalah q ^p .
• Himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika anggota-anggota himpunan A dan B dipasangkan sedemikian rupa sehingga setiap anggota himpunan A berpasangan dengan satu anggota himpunan B daqn setiap anggota himpunan B berpasangan dengan satu anggota himpunan A.
  

  

BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1. BARISAN GEOMETRI
   
   U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
   
   U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta
   
   Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
   
   Rasio r = U_n / U_n-1
   
   Suku ke-n barisan geometri
   
   a, ar, ar² , .......ar^n-1
   U₁, U₂, U₃,......,U_n
   
   Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
   
   
   
2. DERET GEOMETRI
   
   a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
   a = suku awal
   r = rasio
   n = banyak suku
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
   = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)
   
   Keterangan:
   
   
   1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
      
   2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      U_n > U_n-1
      
   3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      U_n <>n-1
      
      Bergantian naik turun, jika r <>
      
   4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
      
   5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
      _______ __________
      Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.
      
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
      
      
      
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
   
   Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
   
   U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
   
   ¥
   å Un = a + ar + ar² .........................
   n=1
   
   dimana n ® ¥ dan -1 <> sehingga rⁿ ® 0
   
   Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
   
   Jumlah tak berhingga S_¥ = a/(1-r)
   
   Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 <>
   
   Catatan:
   
   a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
   
   a+ar² +ar⁴+ ....... S_ganjil = a / (1-r²)
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
   
   a + ar³ + ar⁵ + ...... S_genap = ar / 1 -r²
   
   Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r
   

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.
.
.
.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
= (1 + P/100)² M₀
.
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga
n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p <>

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BARISAN
Yang namanya barisan adalah berjajar, kalo gak menyamping yaaaaa kebelakang tetapi dalam matematika barisan ini terjadi pada angka dan variable.

contoh paling sederhana adalah barisan bilangan ganjial; 1,3,5,7 ......

pola diatas dapat ditulis dengan

U1 = suku pertama (atau biasa dibuat dengan variabel a)
U2 = Suku ke-2
Un = suku ke-n

kenapa disebut barisan???
kalu saia menyebut karena bilangan tersebut memiliki irama. weekss irama.... yaaaaaa iramanya seperti ini;
antara angka 1 dan 3 terdapat beda (b) yaitu 3 - 1 =2 begitupun antara 3 dan 5 terdapat beda yang sama yaitu 2 (5 - 3 = 2) dan seterusnya sampai suku ke-n memiliki beda yang konstan sehinggarumusnya ditulis


U2 - U1 = U3 - U2 = U4 - U3



dan untuk mencari beda dengan rumus

b = Un - Un-1


Ket : b = beda
Un = suku ke-n
Un-1 = satu suku sebelumnya

sehingga *masih mengacu pada barisan contoh diatas
U1 = a = 1
U2 = (a + b) = 1 + 2 = 3 *ingat b adalah beda
U3 = (a + 2b) = 1 + 2.2 = 5
U4 = (a + 3b) = 1 + 3.2 = 7

dan dapat disimpulkan jika mencari suku ke-n (Un) adalah

Un = a + ( n - 1 ) b


misal untuk mencari suku berikutnya adalah suku ke-5 maka;
U5 = a + (n-1)b
= 1 + (5-1)2
= 1 + 8 = 9
kalo suku ke-6
U6 = a + (n-1) b
= 1 + (6 - 1) 2
= 1 + 10
= 11
kalo suku ke-7
U7 = .........................
= ..........................
= ..........
isi sendiri yaaaaaaaaa.. buat latihan kamu dirumah
sudah sedikit mudengkan????.......
nah pada umumnya bentuk deret seperti berikut


a,(a+b),(a+2b), ..... , (a + ( n - 1 ) b )


DERET
jika barisan bentuk umumnya seperti diatas maka bentuk deret bentuk umumnya seperti :



atau




** hayooo tau nggak perbedaannyaaaaaaa dengan BARISAN..... ya... kalu kita liat perbedaanya hanya pada tanda plus dan komanya saja. hehehehheheh

keterangannya sama dengan barisan *gak usah dijelaskan lagi yaaaaa

dalam deret aritmatika terdapat jumlah suku...
berlaku rumus;

sehingga

untuk Sn = jumlah sampai suku ke-n
a = suku pertama
b = beda

dan untuk mencari suku tengah berlaku rumus

untuk Ut = suku tengah

POLA BILANGAN

POLA DAN BARISAN BILANGAN

I. POLA BILANGAN

1. POLA BILANGAN GENAP

2. POLA BILANGAN GANJIL

3. POLA BILANGAN PERSEGI PANJANG

4. POLA BILANGAN SEGITIGA

5. POLA BILANGAN PERSEGI

6. POLA BILANGAN FIBONACI

a. 1 3 4 7 11 18 29,…

b. 1 1 2 3 5 8 13,…

c. - 2 3 1 4 5 9,...

7. POLA BILANGAN SEGITIGA PASCAL

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

II. BARISAN BILANGAN

CONTOH :

1. 3 7 11 15 19 23 , …

2. 4 7 10 13 16 19 , …

3. 2 4 7 11 16 22 , …

4. 1/2 2/5 3/8 4/11 5/14

5. 20 13 7 2 - 2 - 5 - 7

RUMUS SUKU KE- N ( Un )

CONTOH :

1. 5 7 9 11 13 suku ke 50….?

Un = 2 n + 3

U50 = 2.50 + 3

= 100 + 3

= 103

2. 2 9 16 23 30 37 U80 = ?

Un = 7n - 5

U80 = 7.80 - 5

= 560 - 5

= 555

3. - 2 1 4 7 10 13 U120 = ?

Un = 3n - 5

U120 = 3. 120 - 5

= 360 - 5

= 355

4. 30 21 12 3 - 6 -15 U 200 = ?

Un = - 9n + 39

U200 = - 9 . 200 + 39

= - 1800 + 39

= -1761

COBA KERJAKAN DEH !

1. 4 8 13 19 26,… 3 suku berikut ?
2. 42 33 25 18 12 ,… 3 suku berikut ?
3. 7 11 15 19 23 Un = ?
4. 5 11 17 23 29 U180 = ?
5. 1 8 15 22 29 U300 = ?
6. 42 34 26 18 10 U240 = ?

7. - 2 1 -1 0 -1 -1 -2 ,… 3 suku berikut

CONTOH SOAL

1. JIKA Un = 7n – 4 5 suku pertama ?

U1 U2 U3 U4 U5 = ….

U1 = 7 . 1 – 4 U2 = 7 . 2 – 4

= 7 – 4 = 14 – 4

= 3 = 10

5 suku pertama : 3 10 17 24 31

2. Un = - 8n + 27 5 suku pertama ?

U1 = - 8.1 + 27

= - 8 + 27

= 19 19 11 3 -5 -13

U2 = - 8 . 2 + 27

= - 16 + 27

= 11

3. Un = 7n – 1 4. Un = - 4n + 9

jika Un = 279 jika Un = - 171

tentukan n tentukan n

Un = 7n – 1 Un = - 4n + 9

279 = 7n – 1 - 171 = - 4n + 9

279 + 1 = 7n 4n = 9 + 171

280 = 7n 4n = 180

280 : 7 = n n = 180 : 4

40 = n n = 45

L A T I H A N

1. Un = 8n – 3 5 suku pertama …………?

2. Un = - 17n + 24 5 suku pertama……..?

3. Un = 9n – 4, jika Un = 176, tentukan n ?

4. 4 11 18 25 32 , . . .

jika Un = 557 , tentukan n ?

5. Un = - 3n + 7 jika Un = - 203, tentukan n

CONTOH SOAL

1. JIKA Un = an + b dan U2 = 11, U7 = 51, tentukan :

a. rumus Un

b. U47

Jawab

a. Un = an + b, U2 = 11 2a + b = 11

U7 = 51 7a + b = 51

- 5a = - 40

a = -40 : - 5

a = 8

2a + b = 11 rumus Un = 8n – 5

2.8 + b = 11

16 + b = 11 b. U47 = …… ?

b = 11 – 16

b = - 5

2. Un = an + b

jika U3 = 9 , U5 = - 1 tentukan :

a. nilai a dan b

b. rumus Un

c. U60

CONTOH SOAL

1. Tulislah 10 bilangan asli yang pertama

kemudian tentukan jumlah seluruhnya.

2. Tulislah 10 bilangan kelipatan 7 yang

pertama dan jumlahkan.

3. Tulislah 100 bilangan ganjil yang pertama

kemudian jumlahkan seluruhnya!!!!!!!

RUMUS JUMLAH SUKU KE-N (Sn)

Sn = n( Un + U1)

2

1. jumlah 100 bilangan ganjil yang

pertama

1 3 5 7 9,… S100 = 100(199 + 1)

Un = 2n – 1 2

U100 = 2.100 – 1 = 50.200

= 199 = 10.000

2. 3 7 11 15 19,… dit S80…?

Un = 4n – 1

U80 = 4.80 – 1

= 319

S80 = 80( 319 + 3 )

2

= 40. 322

= 12880

3. 24 17 10 3 -4,… S120 = ?

Un = - 7n + 31

U120 = -7.120 + 31

= - 840 + 31

= - 809

S120 = 120( -809 + 24 )

2

= 60. – 785

= - 47100

TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRI

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg²a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg²a

SUDUT RANGKAP

sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a
= 2 cos²a - 1
= 1 - 2 sin²a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1
= 2 cos² ½na - 1
= 1 - 2 sin² ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :
K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°



cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°


tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°