BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1. BARISAN GEOMETRI
   
   U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
   
   U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta
   
   Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
   
   Rasio r = U_n / U_n-1
   
   Suku ke-n barisan geometri
   
   a, ar, ar² , .......ar^n-1
   U₁, U₂, U₃,......,U_n
   
   Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
   
   
   
2. DERET GEOMETRI
   
   a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
   a = suku awal
   r = rasio
   n = banyak suku
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
   = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)
   
   Keterangan:
   
   
   1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
      
   2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      U_n > U_n-1
      
   3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      U_n <>n-1
      
      Bergantian naik turun, jika r <>
      
   4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
      
   5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
      _______ __________
      Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.
      
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
      
      
      
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
   
   Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
   
   U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
   
   ¥
   å Un = a + ar + ar² .........................
   n=1
   
   dimana n ® ¥ dan -1 <> sehingga rⁿ ® 0
   
   Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
   
   Jumlah tak berhingga S_¥ = a/(1-r)
   
   Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 <>
   
   Catatan:
   
   a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
   
   a+ar² +ar⁴+ ....... S_ganjil = a / (1-r²)
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
   
   a + ar³ + ar⁵ + ...... S_genap = ar / 1 -r²
   
   Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r
   

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.
.
.
.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
= (1 + P/100)² M₀
.
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga
n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p <>

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BARISAN
Yang namanya barisan adalah berjajar, kalo gak menyamping yaaaaa kebelakang tetapi dalam matematika barisan ini terjadi pada angka dan variable.

contoh paling sederhana adalah barisan bilangan ganjial; 1,3,5,7 ......

pola diatas dapat ditulis dengan

U1 = suku pertama (atau biasa dibuat dengan variabel a)
U2 = Suku ke-2
Un = suku ke-n

kenapa disebut barisan???
kalu saia menyebut karena bilangan tersebut memiliki irama. weekss irama.... yaaaaaa iramanya seperti ini;
antara angka 1 dan 3 terdapat beda (b) yaitu 3 - 1 =2 begitupun antara 3 dan 5 terdapat beda yang sama yaitu 2 (5 - 3 = 2) dan seterusnya sampai suku ke-n memiliki beda yang konstan sehinggarumusnya ditulis


U2 - U1 = U3 - U2 = U4 - U3



dan untuk mencari beda dengan rumus

b = Un - Un-1


Ket : b = beda
Un = suku ke-n
Un-1 = satu suku sebelumnya

sehingga *masih mengacu pada barisan contoh diatas
U1 = a = 1
U2 = (a + b) = 1 + 2 = 3 *ingat b adalah beda
U3 = (a + 2b) = 1 + 2.2 = 5
U4 = (a + 3b) = 1 + 3.2 = 7

dan dapat disimpulkan jika mencari suku ke-n (Un) adalah

Un = a + ( n - 1 ) b


misal untuk mencari suku berikutnya adalah suku ke-5 maka;
U5 = a + (n-1)b
= 1 + (5-1)2
= 1 + 8 = 9
kalo suku ke-6
U6 = a + (n-1) b
= 1 + (6 - 1) 2
= 1 + 10
= 11
kalo suku ke-7
U7 = .........................
= ..........................
= ..........
isi sendiri yaaaaaaaaa.. buat latihan kamu dirumah
sudah sedikit mudengkan????.......
nah pada umumnya bentuk deret seperti berikut


a,(a+b),(a+2b), ..... , (a + ( n - 1 ) b )


DERET
jika barisan bentuk umumnya seperti diatas maka bentuk deret bentuk umumnya seperti :



atau




** hayooo tau nggak perbedaannyaaaaaaa dengan BARISAN..... ya... kalu kita liat perbedaanya hanya pada tanda plus dan komanya saja. hehehehheheh

keterangannya sama dengan barisan *gak usah dijelaskan lagi yaaaaa

dalam deret aritmatika terdapat jumlah suku...
berlaku rumus;

sehingga

untuk Sn = jumlah sampai suku ke-n
a = suku pertama
b = beda

dan untuk mencari suku tengah berlaku rumus

untuk Ut = suku tengah